# 5.6 `cmath` -- 複素数のための数学関数

このモジュールは常に利用することができます。このモジュールでは、 複素数のための数学関数群へのアクセス手段を提供します。 以下が提供されている関数群です:

`acos`( | x)

  x の逆余弦 (arc cosine) を返します。 この関数には二つの branch cut があります: 一つは 1 から右側に実数軸に沿って ∞へと延びていて、 下から連続しています。 もう一つは -1 から左側に実数軸に沿って -∞へと延びていて、 上から連続しています。

`acosh`( | x)

  x の逆双極線余弦を返します。 branch cut が一つあり、1 の左側に実数軸に沿って -∞へと 延びていて、上から連続しています。

`asin`( | x)

  x の逆正弦を返します。 `acos()` と同じ branch cut を持ちます。

`asinh`( | x)

  x の双極正弦を返します。 2 つの brnch cut があり、±`1j` の左から ±-∞`j` に延びており、両方とも上で連続しています。 これらの branch cut は将来のリリースで修正されるべきバグとみなされて います。 正しい branch cut は虚数軸に沿って延びており、一つは `1j` から ∞`j` までで右から連続、もう一方は -`1j` から下って -∞`j` までで、左から連続です。

`atan`( | x)

  x の逆正接を返します。 2 つの branch cut があります: 一つは `1j` から虚数軸に沿って ∞`j` へと延びており、 左で連続です。もう一方は -`1j` から虚数軸に沿って -∞`j` までで、左で連続です。 (この仕様は上の branch cut が反対側から連続になるように変更されるかも しれません)。

`atanh`( | x)

  x の双極逆正接を返します。 2 つの branch cut があります: 一つは 1 から実数軸に沿って ∞までで、上で連続です。 もう一方は -1 から実数軸に沿って -∞までで、 上で連続です。 (この仕様は左側の branch cut が反対側から連続になるように変更されるかも しれません)。

`cos`( | x)

  x の余弦を返します。

`cosh`( | x)

  x の双極線余弦を返します。

`exp`( | x)

  指数値 `e**x` を返します。

`log`( | x)

  x の自然対数を返します。 branch cut を一つもち、0 から負の実数軸に沿って -∞に 延びており、上で連続しています。

`log10`( | x)

  x の底 10 対数を返します。 `log()` と同じbranch cut を持ちます。

`sin`( | x)

  x の正弦を返します。

`sinh`( | x)

  x の双曲線正弦を返します。

`sqrt`( | x)

  x の平方根を返します。 `log()` と同じ branch cut を持ちます。

`tan`( | x)

  x の正接を返します。

`tanh`( | x)

  x の双曲線正接を返します。

このモジュールではまた、以下の数学上の定数も定義しています:

`pi`
  数学上の定数 pi で、実数です。

`e`
  数学上の定数 e で、実数です。

提供される関数の選択は `math` と同様 ですが、全く同じではないので注意してください。二つのモジュールに しているのは、ユーザによっては複素数には興味がなく、おそらく 複素数とは何かすら知らないからです。そういった人たちはむしろ、 `math.sqrt(-1)` が複素数を返すよりも例外を送出するほうを 好みます。また、`cmath` で定義されている関数は常に、 たとえ答えを実数として表現することができる (虚数部分がゼロの複素数) の場合でも、複素数を返すので注意してください。

branch cut に関する注釈: branch cut をもつ曲線上では、与えられた関数は 連続でありえなくなります。これらは多くの複素関数における必然的な 特性です。複素関数を計算する必要がある場合、これらの branch cut に 関して理解しているものと仮定しています。悟りに至るために何らかの (到底基礎的とはいえない) 複素数に関する書をひもといてください。 数値計算を目的とした branch cut の正しい選択方法についての情報としては、 以下がよい参考文献となります:

参考資料:

Kahan, W: Branch cuts for complex elementary functions; or, Much ado about nothings's sign bit. In Iserles, A., and Powell, M. (eds.), The state of the art in numerical analysis. Clarendon Press (1987) pp165-211.